Tính liên tục Hausdorff của ánh xạ nghiệm hữu hiệu yếu cho bài toán tối ưu tập có chứa tham số
Phạm Trần Anh Thư
Tóm tắt
Mục tiêu nhằm nghiên cứu tính liên tục của ánh xạ nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu tập bị nhiễu trong không gian định chuẩn. Các khái niệm về tính nửa liên tục, liên tục và các khái niệm liên quan đến tính lồi của một ánh xạ đa trị như tính 𝒞-lồi theo đoạn, tính 𝒞-tựa lồi tự nhiên theo đoạn, tính 𝒞-lồi theo cung, tính 𝒞-tựa lồi tự nhiên theo cung được thảo luận. Tiếp theo các hàm vô hướng mở rộng của hàm Gerterwitz và các tính chất của chúng được xem xét, trong đó tính liên tục đóng một vai trò quan trọng trong nghiên cứu. Dựa vào các tính chất của các hàm vô hướng trên, một biểu diễn vô hướng của nghiệm cho bài toán tối ưu tập được xây dựng. Cuối cùng, sử dụng các tính chất của hàm vô hướng này cùng với tính compact của tập ràng buộc và các giả thiết về tính 𝒞-liên tục cũng như tính 𝒞-tựa lồi tự nhiên theo cung trên hàm mục tiêu, chúng tôi đã thiết lập các điều kiện đủ cho tính liên tục của ánh xạ nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán đã nêu ra.
Từ khóa: Bài toán tối ưu tập, biểu diễn vô hướng, liên tục Hausdorff, nghiệm xấp xỉ, vô hướng hóa.
Abstract
The objective was to study the continuity of the efficient solution maps of perturbed set optimization problems in normed spaces. The semicontinuous, continuous concepts and concepts related to the convexity of a set-valued map such as segmented 𝒞-convexity, naturally segmented 𝒞-quasiconvexity, arcwise connected 𝒞-convexity, naturally arcwise connected 𝒞-quasiconvexity were reviewed. Next, we consider generalized scalarization functions of Gerterwitz function and their properties, in which in which the continuity played an important role in our analysis. Based on the properties of the above scalarization functions, a scalar representations of the weakly efficient solution for the set optimization problem is built. Finally, employing properties of the nonlinear scalarization function with the compactness of constraining set and the 𝒞-continuity as well as naturally arcwise connected 𝒞-quasiconvexity assumptions on the objective map, we established sufficient conditions for continuity of the efficient solution maps to problems
Keywords: Approximate solution, Hausdorff continuity, nonlinear scalarization, scalar representation, set optimization problem.